解题练习(4)2018年江苏高考数学第13题

2018年江苏高考数学第13题

13.在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,$\angle ABC=120^\circ$,$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$D$,且$BD=1$,则$4a+c$的最小值为$\underline{\quad \blacktriangle\quad} $.
解法1:等积法
$\dfrac{1}{2}acsin120^\circ=\dfrac{1}{2}asin60^\circ+\dfrac{1}{2}csin60^\circ \Rightarrow $$ac=a+c \Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\Rightarrow $

$4a+c=(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})(4a+c)=\dfrac{c}{a}+\dfrac{4a}{c}+5\ge 9$,当且仅当$\dfrac{c}{a}=\dfrac{4a}{c},即c=2a$时取等.

解法2:角平分线的向量表示

解法3:建系

 

解法4:角平分线定理结合余弦定理
$AD^2=c^2+1^2-2c.cos60^\circ=c^2-c+1,CD^2=a^2+1^2-2a.cos60^\circ=a^2-a+1$
由角平分线定理知:$\dfrac{AD^2}{CD^2}=\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{c^2-c+1}{a^2-a+1}$,化简得:$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$,以下同解法1.

解法5:

 

此条目发表在解题练习分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注