解题练习(3)

已知角$\alpha,\beta$都是锐角,求证:$sin2\alpha+sin2\beta=4cos\alpha cos\beta$的充要条件是
$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$.
证明:将左式适当变形,即证:$\dfrac{sin\alpha}{cos\beta}+\dfrac{sin\beta}{cos\alpha}=2$ $\Leftrightarrow$$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$.
显然,从右到左易证.以下用反证法证明从左到右.
若$\alpha+\beta>\dfrac{\pi}{2}$,则有$\dfrac{\pi}{2}>\alpha>\dfrac{\pi}{2}-\beta>0$,显然有:$\dfrac{sin\alpha}{cos\beta}>1$,同理有:$\dfrac{sin\beta}{cos\alpha}>1$,则$\dfrac{sin\alpha}{cos\beta}+\dfrac{sin\beta}{cos\alpha}>2$,得出矛盾.

若$\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$,同理可证得:$\dfrac{sin\alpha}{cos\beta}+\dfrac{sin\beta}{cos\alpha}<2$,也得出矛盾.

综上可得:$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$.

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